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Exercice
soit `x, y` deux réels strictement positifs

1) Montrer que `1/{x^2+y^2} <= 1/{2xy}`

2) Montrer que `{x+y}/{x^2+y^2} <= 1/2( 1/x+1/y) `

3) soit `a, b , c ` des réels strictement positifs

Montrer que `{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/a+1/b+1/c `
3 réponses

1) Montrer que `1/{x^2+y^2} <= 1/{2xy}`



on a `(x-y)^2 = x^2+y^2 -2xy `

or `(x-y)^2 >= 0 ` donc `x^2+y^2 -2xy >= 0 `

il en découle que :

or ` x, y ` sont strictement positifs

alors



Avez vous une question

2) Montrer que `{x+y}/{x^2+y^2} <= 1/2( 1/x+1/y) `



on a ` 1/{x^2+y^2} <=1/{ 2xy } ` d'après la question 1)

or ` x+y > 0 `

alors

` (x+y)/{x^2+y^2} <={x+y}/{ 2xy } `

donc ` (x+y)/{x^2+y^2} <=1/2{x+y}/{ xy } `

et par suite ` (x+y)/{x^2+y^2} <=1/2(x/{xy}+y/{ xy }) `

donc


Avez vous une question

3) Montrer que : `{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/a+1/b+1/c`



soit `a, b , c ` des réels strictement positifs

d'après la question 2) on peut écrire :

-`{a+b}/{a^2+b^2} <= 1/2(1/a+1/b)`

- `{c+b}/{c^2+b^2} <= 1/2(1/c+1/b)`

- `{a+c}/{a^2+c^2} <= 1/2(1/a+1/c)`


la somme terme à terme donne :

`{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/2(1/a+1/b+1/c +1/a+1/b+1/c) `

`=> {a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 1/2(2/a+2/b+2/c) `

donc `{a+b}/{a^2+b^2} + {b +c}/{b^2 +c^2} + {c+a}/{c^2+a^2}<= 2/2(1/a+1/b+1/c) `

alors



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Questions et Réponses 4
J C0 2023-12-14
Pourquoi on a rendu 1/2xy à x+y/2xy
J C1 2023-12-13
Pourquoi on a rendu 1/2xy à x+y/2xy
J C2 2023-12-11
Question
Pourquoi on a rendu `1/2xy` à `(x+y)/2xy`

Réponse

J ai pas compris votre question indiquez le numéro de la question
W C3 2021-02-08
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